Родился в 1908 году в Астрахани, в семье профессионалов-музыкантов. Отец его — старейший эстонский композитор Артур Капп, ученик Н. А. Римского-Корсакова; мать — певица. В 12-летнем возрасте Эуген Капп вместе с семьей переехал в Эстонию, в Таллин.

Музыкальное образование будущий композитор получил в Таллинской консерватории, которую окончил в 1931 году, занимаясь у своего отца — А. Каппа.

Основное место в творчестве Э. Каппа занимают музыкально-сценические произведения. Это — оперы «Огни мщения» (1945), «Певец свободы» (1950) и балет «Калевипоэг» (1948).

«Огни мщения», «Калевипоэг» и «Певец свободы» получили широкое признание общественности — они отмечены Сталинскими премиями.